Teoría Combinatoria (Permutaciones)

   Basados en los principios de multiplicación y adición, es posible estudiar los arreglos u ordenaciones de un grupo de objetos. Algunos factores que influyen o inciden en este estudio son:

- La presencia de objetos repetidos
- Si la selección de los objetos es con o sin reemplazo, o 
- Si relevante el orden que ocupan dichos objetos en el arreglo.

 Según el tipo de ordenamiento, consideraremos tres tipos de arreglos, (a) permutaciones, (b) variaciones y (c) combinaciones. Veamos a continuación el primero de estos ordenamientos, el de las permutaciones

Permutaciones: 

Comenzaremos presentando algunos problemas que inviten a la deducción o la construcción del razonamiento - posterior fórmula - utilizado en el cálculo de las permutaciones. Ofrece tus respuestas y observaciones en los comentarios al final de la publicación.

1. En una caja de seguridad existen sólo 3 dígitos: 1, 6 y 9 ¿Cuántas claves secretas será posible construir, respetando el hecho de que no se pueden repetir ningún dígito y deben estar involucrados todos los dígitos?, ¿Cuáles son las posibles claves?, ¿Qué sucede si es posible construir claves con dígitos repetidos?, ¿Cuántas claves es posible crear ahora y cuáles son?
2. En una institución educativa a los estudiantes de cada salón se les asigna un número único de identificación para cada alumno. Tal código está formado por un número de 4 cifras que se forman con los dígitos 2,3,5 y7.  (i)¿Cuántos alumnos como máximo debe haber en cada salón y cuáles serían sus códigos si ningún dígito se puede repetir en el mismo?, ¿y si los dígitos se repiten, cuántos códigos se formarían y cómo queda el número de alumnos por aula de clase?
3. Con las primeras 6 letras del abecedario, cuántas placas para carros se pueden armar suponiendo que no se puede repetir ninguna letra? Ahora suponga que si es válido que aparezcan letras repetidas, ¿Cuántas placas se pueden hacer?

En los problemas anteriores, hay una serie de características comunes que comentaremos brevemente: 

• En primer lugar, el orden de los arreglos es importante, es decir, aunque se tengan los mismo elementos, el orden en el que estos se presentan denota arreglos diferentes (por ejemplo, no es lo mismo decir casa N° 12 que casa N° 21). 
• Otro aspecto a considerar es el hecho de que estamos considerando TODOS los objetos del grupo (hay tres dígitos y la clave es de tres, hay seis letras y la identificación de placas es de seis, el código de los alumnos es de cuatro dígitos).
• Finalmente en algunos casos se hizo la distinción entre escoger o no  - repetir o no- un elemento del grupo, y esta consideración nos cambia el número de ordenamientos. 

En todos estos casos se puede hablar de permutaciones. Según sea el caso, se trata de permutaciones sin repetición; o permutaciones con repetición. En este momento, aprovecharemos para introducir una notación que nos ayudará mucho en el cálculo combinatorio, el factorial de un número natural:

Sean n un número entero no negativo, se define el factorial de n, lo cual se denota n!, al número n!=n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1

Observación: Se conviene establecer 0! = 1

Ejemplos:

3!= 3.2.1 = 6         4!=4.3.2.1 = 24    5!=5.4.3.2.1 = 120

Ahora, estamos en condiciones de obtener la fórmula para calcular el número de permutaciones de n objetos:

La fórmula en este caso es:

                                             

Veamos el siguiente ejemplo: