Teoría Combinatoria (Práctica)

1. Cuatro libros distintos de Matemática, seis diferentes de Física y dos diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuántas formas distintas es posible ordenarlos, si
   a) los libros de cada asignatura deben estar todos juntos?
   b) solamente los libros de matemática deben estar todos juntos?
   
2. ¿Cuántos números de exactamente cuatro cifras se pueden formar con los dígitos impares?
   R. 
3. La cifra que corresponde a las unidades puede ser cualquiera de estas cinco. Lo mismo para las decenas, las centenas y las unidades de mil. Por lo tanto hay 5.5.5.5 = 625 números de cuatro cifras, todas impares.
4. 
   

Teoría Combinatoria (Combinaciones)

Combinaciones: 

Iniciaremos este tema, tal y como hemos hecho en los anteriores, presentando algunos problemas que inviten a la deducción o la construcción del razonamiento - posterior fórmula - utilizado en el cálculo de las combinaciones. Ofrece tus respuestas y observaciones en los comentarios al final de la publicación.

1. Con 5 potes de pintura (de colores diferentes), cuántos colores pueden formarse si mezclamos 3 en la misma proporción.
2. Se deben elegir 4 personas entre 7 para formar una comisión de trabajo. ¿De cuántas maneras puede hacerse esto?

Nótese que se trata de problemas diferentes al de las permutaciones y/o variaciones ya que en este caso el orden de los arreglos o disposiciones es irrelevante, es decir, no es importante.

En estos problemas en particular no se admite repetición, por ejemplo, en la comisión de trabajo una persona que ya fue seleccionada, no puede ser escogida de nuevo (duplicada). 

En este tipo de problemas estamos en presencia de unos arreglos denominados combinaciones. Esto es, ¿de cuántas maneras podemos disponer r objetos tomados de n elementos sin considerar el orden de los mismos? (con r < n)

La fórmula para la combinaciones (sin repetición) se puede deducir de la fórmula de variación: 
                                            nCr = n! / (n-r)! r!

Nótese que se trata de la misma fórmula de las variaciones, sólo que dividida por r!, lo cual se corresponde a las permutaciones de los r objetos tomados (que como ya establecimos, no son relevantes pues el orden en el que aparecen no hace diferencia alguna en el arreglo).

Teoría Combinatoria (Variaciones)

Variaciones: 

Comenzaremos presentando algunos problemas que inviten a la deducción o la construcción del razonamiento - posterior fórmula - utilizado en el cálculo de las variaciones. Ofrece tus respuestas y observaciones en los comentarios al final de la publicación.

1. Con las letras A, B, C y D se forman las identificaciones de las salas en un hospital utilizando tan sólo dos de tales letras. ¿Cuántas salas es posible identificar siempre y cuando ninguna letra se pueda repetir. ¿Qué ocurre si es válido repetir las letras en las identificaciones? ¿cuántas salas es posible codificar ahora?
2. Con los dígitos del 1 al 9, ¿cuántos números de 3 dígitos se pueden construir? Si incluímos el 0, ¿cuántos números de 3 dígitos se pueden construir ahora?
3. En una sala de reuniones hay 10 personas y tan sólo 4 sillas. De cuántas maneras se pueden sentar las personas en las sillas?

En los problemas anteriores, hay una serie de características comunes muy similares al caso de las permutaciones, pero hay una diferencia 

• El orden de los objetos en los arreglos sigue siendo importante. Los mismos objetos en posiciones distintas, representa arreglos o disposiciones diferentes.
• La DIFERENCIA con las permutaciones es que en este caso NO se toman todos los objetos del grupo sino que se tomas r objetos de n que hay (r < n)
• Igual hay que considerar la repetición o no de los r objetos. 

En todos estos casos se puede hablar de variaciones, y al igual que el caso de las permutaciones, también las hay con o sin repetición. 

Observación: Algunos autores hablan indistintamente de permutaciones y/o variaciones, ya que la diferencia estriba es en el número de objetos a considerar en el ordenamiento, pero en ambos casos, la característica relevante es que el orden es importante.

Ahora, estamos en condiciones de obtener la fórmula para calcular el número de variaciones tomando r objetos de n (r < n):

Teoría Combinatoria (Permutaciones)

   Basados en los principios de multiplicación y adición, es posible estudiar los arreglos u ordenaciones de un grupo de objetos. Algunos factores que influyen o inciden en este estudio son:

- La presencia de objetos repetidos
- Si la selección de los objetos es con o sin reemplazo, o 
- Si relevante el orden que ocupan dichos objetos en el arreglo.

 Según el tipo de ordenamiento, consideraremos tres tipos de arreglos, (a) permutaciones, (b) variaciones y (c) combinaciones. Veamos a continuación el primero de estos ordenamientos, el de las permutaciones

Permutaciones: 

Comenzaremos presentando algunos problemas que inviten a la deducción o la construcción del razonamiento - posterior fórmula - utilizado en el cálculo de las permutaciones. Ofrece tus respuestas y observaciones en los comentarios al final de la publicación.

1. En una caja de seguridad existen sólo 3 dígitos: 1, 6 y 9 ¿Cuántas claves secretas será posible construir, respetando el hecho de que no se pueden repetir ningún dígito y deben estar involucrados todos los dígitos?, ¿Cuáles son las posibles claves?, ¿Qué sucede si es posible construir claves con dígitos repetidos?, ¿Cuántas claves es posible crear ahora y cuáles son?
2. En una institución educativa a los estudiantes de cada salón se les asigna un número único de identificación para cada alumno. Tal código está formado por un número de 4 cifras que se forman con los dígitos 2,3,5 y7.  (i)¿Cuántos alumnos como máximo debe haber en cada salón y cuáles serían sus códigos si ningún dígito se puede repetir en el mismo?, ¿y si los dígitos se repiten, cuántos códigos se formarían y cómo queda el número de alumnos por aula de clase?
3. Con las primeras 6 letras del abecedario, cuántas placas para carros se pueden armar suponiendo que no se puede repetir ninguna letra? Ahora suponga que si es válido que aparezcan letras repetidas, ¿Cuántas placas se pueden hacer?

En los problemas anteriores, hay una serie de características comunes que comentaremos brevemente: 

• En primer lugar, el orden de los arreglos es importante, es decir, aunque se tengan los mismo elementos, el orden en el que estos se presentan denota arreglos diferentes (por ejemplo, no es lo mismo decir casa N° 12 que casa N° 21). 
• Otro aspecto a considerar es el hecho de que estamos considerando TODOS los objetos del grupo (hay tres dígitos y la clave es de tres, hay seis letras y la identificación de placas es de seis, el código de los alumnos es de cuatro dígitos).
• Finalmente en algunos casos se hizo la distinción entre escoger o no  - repetir o no- un elemento del grupo, y esta consideración nos cambia el número de ordenamientos. 

En todos estos casos se puede hablar de permutaciones. Según sea el caso, se trata de permutaciones sin repetición; o permutaciones con repetición. En este momento, aprovecharemos para introducir una notación que nos ayudará mucho en el cálculo combinatorio, el factorial de un número natural:

Sean n un número entero no negativo, se define el factorial de n, lo cual se denota n!, al número n!=n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1

Observación: Se conviene establecer 0! = 1

Ejemplos:

3!= 3.2.1 = 6         4!=4.3.2.1 = 24    5!=5.4.3.2.1 = 120

Ahora, estamos en condiciones de obtener la fórmula para calcular el número de permutaciones de n objetos:

La fórmula en este caso es:

                                             

Veamos el siguiente ejemplo:

Principio de la Suma

Problemas motivadores. A continuación te presento una serie de problemas que te ayudarán a comprender el principio de la adición. Explica la respuesta a dichos problemas en la sección de comentarios.

1. En una tienda hay cinco modelos de pantalón, ocho de camisa y cuatro de zapatos ¿Cuántas maneras hay de comprar dos objetos con nombres distintos?
   
2. ¿Cuántos números de a lo sumo tres cifras se pueden formar con los dígitos 2, 5, 7 y 8?

Los problemas anteriores tienen características similares en su forma de resolver. Se apoyan en una razonamiento denominado principio de la adición

Principio de adición. Si una situación puede ocurrir de A maneras distintas y una segunda situación excluyente de la primera puede ocurrir de B maneras, entonces existen A+B maneras en las cuales puede ocurrir la primera o la segunda situación.

Observación: este principio se extiende a un número finito de n procesos diferentes

El principio de la Multiplicación

Problemas motivadores. A continuación te presento una serie de problemas que te ayudarán a comprender el principio de la adición. Explica la respuesta a dichos problemas en la sección de comentarios

1. En una tienda hay tres modelos de camisa, dos de medias y tres de pantalón. ¿Cuántos conjuntos distintos de pantalón y camisa podemos comprar?
   
2. Un técnico desea armar una computadora a petición de un cliente. En inventario existen 3 microprocesadores (de modelos distintos), 4 marcas de disco duro, 2 tipos de memoria RAM (con igual capacidad).  ¿De cuántas maneras diferentes será posible que el técnico construya la computadora?
   
3. En un restaurante se ofrece servicio de almuerzo ejecutivo con una sopa, un plato principal, un jugo y un postre. Todos los días se ofrece a los comensales: 2 tipos de sopa,  3 tipos de plato principal, 5 tipos de jugos y 6 tipos de postre. ¿cuántos almuerzos ejecutivos diferentes se pueden seleccionar probar?

Principio de multiplicación. Si una situación puede ocurrir de A maneras distintas y una segunda situación puede ocurrir de B maneras, entonces existen A.B maneras en las cuales puede ocurrir ambas situaciones. 

Observación: este principio se extiende a un número finito de n procesos diferentes.

Muchas veces conviene hacer diagramas de árbol, que no es más que una representación gráfica de todas las opciones o posibilidades que hay cuando se llevan a cabo varios procesos o tareas. Veamos el siguiente ejemplo: 

Te diriges a un cafetín que ofrece 4 jugos diferentes (manzana, naranja, limón y uva) y tiene 2 presentaciones (pequeño y grande)  ¿Cuántas opciones hay para pedir el jugo? La respuesta la podemos obtener a través del principio de la multiplicación, junto con su representación a través un diagrama de árbol